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【匯總】灰老師原創題

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發表于 2021-1-18 13:56:52 | 只看該作者 |只看大圖 回帖獎勵 |倒序瀏覽 |閱讀模式
第一題(雞兔同籠問題):
雞兔同籠,一共240條腿,如果把雞的1/2換成兔子,再把兔子的1/3換成雞,這時減少了10條腿,問原來有多少只雞?


解析:
方法1:
不管雞變兔子,還是兔子變雞,他們的總和沒變,腿減少了10條,
是因為遠來兔子多雞少造成的,減少10條腿,
說明兔子減少了10÷(4-2)=5只。
雞的一半變成兔子之后,那兔子的腿跟原來雞和兔子的腿一樣多,
也就是說這時候兔子的腿數等于240條,如果兔子的1/3換成雞,
這時候,兔子的腿=240*(1-1/3)=160,此時兔子=160÷4=40只,
那么原來兔子就是40+5=45只,一共240條腿,
那么此時的雞就是(240-45*4)÷2=30只

方法2:設原來的雞有x只,兔子有y只,
根據題意列方程得到:
2x+4y=240
(x/2+(x/2+y)*1/3)*2+(x/2+y)*2/3*4=240-10
解出x=30,y=45

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 樓主| 發表于 2021-1-18 13:57:17 | 只看該作者
第二題(年齡問題,不定方程問題):

三個小孩兩年后的年齡之積是現在的4倍,問三個小孩4年后的年齡之積是現在的幾倍?(小孩的年齡均小于10)


解析:對應小學生來說只能枚舉,設三個小孩年齡分別是a,b,c,并且滿足a<=b<=c;
如果a>=4時,兩年后的年齡>=6歲與此時年齡的商6/4<=1.5,而1.5*1.5*1.5<4說明年齡最小的那個小孩的年齡是小于4歲的
然后討論a=1~3的情況;
1).a=1時,(a+2)(b+2)(c+2)=4abc也就是3(b+2)(c+2)=4bc展開化簡得到
(b-6)(c-6)=48,解出b=7,c=54;或者b=8,c=30;b=9,c=22;b=10,c=18;b=12,c=14;


2).a=2時,(a+2)(b+2)(c+2)=4abc也就是(b+2)(c+2)=2bc展開化簡得到
(b-2)(c-2)=8,解出b=3,c=10;或者b=4,c=6;



3).a=3時,(a+2)(b+2)(c+2)=4abc也就是5(b+2)(c+2)=12bc,顯然5|bc,小于10的數只有5|5,所以b=5或者c=5

b=5時,c=14/5
c=5時,b=14/5


綜上所述,滿足abc都小于10的解,只有a=2,b=4,c=6
那么四年后他們的年齡乘積是現在的倍數:6*8*10/(2*4*6)=10
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 樓主| 發表于 2021-1-19 18:05:54 | 只看該作者
第三題:
三個不同質數的和能整除他們的乘積,求這三個質數的和的最小值。


解析:設這三個質數分別是a,b,c,并且a<=b<=c
則有a+b+c|abc
顯然abc的全部因子為1,a,b,c,ab,ac,bc,abc
因為a+b+c>c
所以a+b+c只有4種情況,
1).a+b+c=abc<=3c,得到ab<=3,因為ab是不同的質數,這是不可能,ab最小值也是6
2).a+b+c=ab,得到(a-1)(b-1)=c+1要使得質數和最小,也就是abc都要分別的小,
顯然a=1時,只要b=c+2,因為b<=c,所以這不可能。
2).a+b+c=ac,得到(a-1)(c-1)=b+1要使得質數和最小,也就是abc都要分別的小,
顯然a=2時,只要c=b+2,于是我們得到b=3,c=5滿足題意是最小的解
2).a+b+c=bc,得到(b-1)(c-1)=a+1<=b+1,說明c-1<=(b+1)/(b-1)<=3,c<=4,此時必有重復質數




于是我們顯然得到一組最小的解a=2,b=3,c=5
他們的和是2+3+5=10
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 樓主| 發表于 2021-1-20 08:58:26 | 只看該作者
第四題:
孫悟空今年是唐僧年齡的10倍,若干年后分別是唐僧的9倍,8倍…2倍,問孫悟空至少比唐僧大多少歲?


解析:年齡問題中年齡差是恒定不變的,所以他們的年齡差是9,8,7,……1的倍數


也就是求這些書的最小公倍數,(9,8,7,6,5,4,3,2,1)=2520


于是孫悟空至少比唐僧大2520歲。
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發表于 2021-1-23 01:40:30 | 只看該作者
第五題:2008年北京奧運會有11438名運動員參加比賽,假設這些運動員的ID從2008開始,
現在要為這些運動動員制備ID標志牌,由于有些數字比如0,1,8倒過來是相同的,而6和9互變,
請問需要制作多少個標志牌才能把所有的ID表示出來?
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 樓主| 發表于 2021-1-23 08:28:07 | 只看該作者
第六題:灰老師在黑板上寫了一個由若干個正整數組成的等差數列,
小雨:都是奇數,只有一個數能被7整除,最大數小于100;
小杰:最小數是質數,2出現了2次,數列個數小于10;
如果小雨和小杰說的都是對的,那么這個數列的和最大是多少?
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 樓主| 發表于 2021-1-24 11:22:08 | 只看該作者
第七題:
哥哥:再過5年,我就是你年齡的3倍;
弟弟:再過5年,我就和你一樣大了;
媽媽:傻孩子,你們怎么能以為自己的年齡每年會增長而別人都不增長呢。應該這樣說,再過20年,我就是你們兩個人的年齡之和了。
請問,媽媽現在多少歲?
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發表于 2021-2-1 09:47:08 | 只看該作者
第八題:
傳說有一種多頭蛇和多頭鳥,多頭蛇出生就有5個頭,而多頭鳥出生有3個頭,
以后每過1年,多頭蛇會長出2個頭,多頭鳥會長出3個頭,籠子里關了若干只多條蛇和多頭鳥,
數頭有120個,三年后發現有150個頭,請問籠子里有多少只多條蛇和多頭鳥?
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 樓主| 發表于 2021-2-15 15:16:43 | 只看該作者
第九題:
一個四位數有兩個連續自然數拼接而成,如5253,3940;這個自然數加上4是一個完全平方數,求這個四位數。
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 樓主| 發表于 2021-2-20 08:08:36 | 只看該作者
第十題:相同的字母代表相同的數字,不同的字母代表不同的數字,請完善下面的乘法豎式:



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